Geek专栏：[译] Kill Math: 让数学不只是符号

今天Geek专栏为大家带来译文
“KillMath：让数学不只是符号”
原作者：BretVictor
译者：王松博士

Bret Victor 是苹果公司的前 IPAD 的交互设计师,大神级的人物。他的理想是：改造我们的低幼化社会。为人们提供工具，用以抵抗和摧毁消费主义文化以及大企业对工作、娱乐和创造力的寡头控制。将权力、尊严和责任感还给个人。Bret 有很多惊艳的作品，感兴趣的同学可以在 Youtube 上搜一下。这篇文章中 Bret 认为大多数人应该用直觉去感知和理解数学符号，而不是靠符号演算。
下面是正文：

理解并预测量化世界的能力不应该只属于那些能够熟练运用抽象数学符号的人。

当大多数人谈及数学的时候，脑袋里想的更多是数学的机理而不是思考数学的本质。赋予符号含义、按照神秘的法则的变换和根据变换来解释意义组成了这种所谓的“数学”。整个过程就像是在抓阄一样。
如此的数学机制发展起来是有原因的：这是在纸和笔的限制下构建的最有效的数学系统。但是很遗憾的是，大多数的人们并不习惯将含义和数学抽象符号联系到一起并且很熟练地使用它们。所以除了算术，数学的力量只是掌握在少数的科学家和工程师的手上（虽然嘴上不说，但是他们中的大多数也是饱受抽象符号的煎熬）。
现在我们将不再受限于纸和笔。抽象的符号变换不应该再是理解数学的唯一手段了。数学需要有新的形象。

项目

Kill Math 是一个综合的工程项目，目标是帮助人们通过更具体的表现以及更符合直觉的形式来探索和解决一些有意义的量化问题。长远的目标则是希望能够建立一套不同于现有的符号数学体系的可广泛使用并自动呈现的可视化数学表示方法。
在未来的某一天，在这篇博客内可能会有一篇介绍的文章，让你感动到流泪。但是这篇文章还没写，因为它需要大量的思考和演示示例，在此之前我需要深刻地理解我正在努力做的工作。
下面是我目前已经完成的部分：

• 《通过媒介来思考原本不可思考的》是一系列交互式的用于设计和理解系统的演示，并且整合了下面列出的很多工作。
• 《擦写计算器》 演示了在不使用符号变量的情况下解决实际的代数问题。不是求解 x 和 y，而是通过交互的方式调整变量。
• 《动态系统的互动探索》演示了一个控制微分方程的工具，其中的每一个变量都用图表显示，每个参数都有一个旋钮，可以实时地进行调整。这套工具可以帮助用户了解参数是如何影响整个系统行为的。
• 《如何运用抽象》是一篇可交互的博客，使用系统可视化来帮助设计和理解一个系统。
• 《将模拟作为一种实用工具》是这篇文章的早期形态，这个项目主要是为了验证想法。
  

下面是一系列关于这个数学主题的博客漫谈，我希望吸引更多志同道合的人，而不是为了说服那些持怀疑态度的人。(在怀疑论者看到更多的例子之前，他们可能会拒绝被说服。)
我计划在不同的应用领域和数学领域收集一些有意义的问题，按照这里的哲学针对每一个问题，设计出一种解决方案，将此解决方案与传统解决方案进行比较。我希望在这个过程中出现的一些技术和设计模式可以为将来一般性的的框架提供参考。
跟往常一样，如果你在用类似的方式思考和工作，我很想看看你想出了什么有意思的点。
一些附加的想法发表在 Fast Company 杂志的这篇文章里
(https://www.fastcompany.com/1664 ... math-using-data-viz)

杂记

语言与内在解释 (1)

理解和预测数是一种相当强大的力量。目前，这种能力掌握在极少数能够熟练运用数学抽象符号的人手中。
相比之下，考虑识字能力。从一个不在同一地点或时间的人那里接收思想的能力同样是一种巨大的力量。识字率上升带来的巨大社会影响也是众所周知的。
语言素养比数学素养更加普及。几乎所有“受过教育”的人都能阅读，大多数人甚至可以在某种程度上写作。但是大多数受过教育的人除了算术之外没有掌握什么有用的数学技能。
写作和数学都是基于符号表示的系统。但我认为语言更加自然，因为语言的符号直接映射到单词或音素上，这是人类与生俱来的能力。我想，阅读和听别人说话或看手语有着相同的心理机制。
我不认为每个人在处理数学符号上有着相同的天赋【注1】。相反，我们倾向于阐释隐含的物理含义，这两种隐喻都适用于使用抽象符号的机制（例如，“移动”一个因子到等式的另一边，“消除”两个因子，等等）和符号的语义解释（例如，指数“上升”，或者公式的可忽略项）。在一定程度上，一个人的数学能力和感受这些物理隐喻的符号紧密相连，从而使抽象的更具体。
【注1】: 西蒙·佩伯特可能不会同意这样的观点，他认为对于在 “Mathland” (一个沉浸式的数学互动环境) 中长大的孩子看来，使用数学就像是在法国说法语一样，可以熟练地使用抽象的数学符号。我可能反驳说，在南极长大的孩子可能会更抗冻，或许人们并不需要这种抗冻能力。
我相信这两种精神上的扭曲都是在纸笔技术下的产物。一个人不应该手动地去变换符号和数学推导。因为这些工作最好完全由软件自动完成，或者像玩滑动拼图游戏一样，有一个可交互的带引导的软件。可能更具争议的是，我认为一个人不必去理解抽象符号的含义。相反地，动态图、图表、可视化模型和视觉特效就可以阐释事物本质。比如数值之间的关系、指数上升和公式的可忽略项应该被直观地用眼睛看到，而不是单纯地靠脑海想象。

语言与内在解释 (2)

人类是为语言而生的——我们是处理符号的机器——所以我不能说“符号的坏话”。我感觉有一些东西需要亲眼所见或者亲身体会才能够真正的理解与融会贯通。并且一些东西是可以很容易地绘制或者制作，对于那些缺少使用晦涩难懂的专业语言的经验的人来说，这很难用符号表述。
我认为数量和度量就属于这个范畴。例如长度1m 和1mm 的符号表示与直接观察这两种长度相比——前者只是一页纸上的数字，而后者可以让你直观地感受。你觉得大多数人能够从符号上，感受和理解 $1B 和$1T财政救助款之间的区别吗？事实上它俩之间差了整整 3 个数量级。
你需要使用本能的直觉去理解一个问题。一个优秀的电路设计师能够感知到一个电路是如何运作的。当他们看着电路原理图的时候，就能感受到电压的脉动，就好像看着跷跷板或者水泵运作一般。然而这需要多年的经验来形成这种当你看着符号的时候就能理解符号含义的直觉。
同样地，人们以前认为去阅读和理解巨大的数字表格是处理数据的基本技能。但是威廉·普莱费尔发明了线形图，突然间所有人都可以通过平凡的眼睛来直观地感受数据。
复数提供了一个很好的例子。在许多科学领域，理解抽象的复数是一项基本技能。然后 David Hestenes 站出来说：“嘿，你知道复数、四元数、泡利矩阵和其他抽象有趣的东西吗？如果你用过克利福德代数的话，所有的这些东西都有几何表示，并且你可以实际地体会和品味到它们。”用你愚笨的嘴去品味复数！事实上没有人相信他，但是我相信。
我们的工具的目的就是使那些无法企及的抽象事物让普通人也能理解，将它们转换成我们能够感受到的形态。显微镜能够让我们的眼睛看到微小的事物。镊子能够让我们笨拙的手指夹起细微的颗粒。计算器能够让我们愚笨的大脑完成复杂的计算。所以我想有那么一个工具可以让我们普通的大脑看见和体会复杂的情景。

厨房里的数学

在《儿童的机器》这本书中，西蒙·佩伯特介绍了“厨房里的数学”。一道菜需要给 3 个人吃，但是厨师只做了 2 份菜，所以她需要将原材料的均分 2/3。一道菜需要 3/4 杯面粉。厨师量出 3/4 杯面粉，在柜台上摊开成一个圈，从圈里拿出1/3块，放回袋子里。这就是 2/3 和 3/4。
有些人显得很慌张因为他不会使用分数，但是我发现了一个有趣的解决方案。因为分数是具体的、可见的、有形的和直接的。传统的方法就是分子分母上下同时约掉 3，但是这没有任何的物理意义。
我想要创造出一个环境来增强厨房里的数学。

数学的艺术

这个项目没有处于自身观点考虑来攻击应用数学。我不介意数学娱乐化或者艺术化。我一直出于个人兴趣在学习数学；我始终在以数学为乐。我对洛克哈特的悲歌产生了强烈的共鸣，并且我很喜欢 Vi Hart 和 Mike Keith 等人所做的工作。在模式和规则中隐藏着美感；但是发现这种美是有挑战的。我可能会因为盲目的传统和缺乏想象力的原因，迫使我使用古老的传统方式来完成这样的艺术形式。
以武术为例，这是另一种根据实际需要而发展出来的艺术形式。就像数学一样，人们练习武术可能是以为了身体或精神上的锻炼，为了挑战和掌握一项技能，为了它的优雅和美丽，或者作为一种社交活动为目的。与数学不同的是，我们意识到武术的精神已经发生了改变，因为随着技术的进步产生了更多教训人的方式。
（与数学不同的是，我们不会强迫地球上的每一个孩子上 12 年的课，那些在艺术方面不擅长的孩子也不会感到羞耻和低人一等。）

可能令人尴尬的个人往事

当我读高中的时候，我每周会去几次当地的大学学习微分方程。有一天，老师解完一个二阶方程式：

他很随意地提出了一个问题：“你为什么认为这个解有两个任意常数？”
对这个问题我感到很疑惑，我认为答案本该如此呀。我能看出解有两个自由度，我能理解到这个程度，但是我从来没想到还有更深层次的原因。
老师然后说道，“因为你积分了两次”。然后他就开始继续讲其他的东西了，但是我小脑袋里已经满满都是问号。
我从来没有想过通过积分来求解微分方程。因为它看起来并不像积分。我知道积分是什么样的——积分就是把东西都累加起来，就像往水槽里加水一样。

并且我知道方程直观感受起来是什么样的——它就像天平，慢慢地摆动越来越小，最后停了下来。

后来我上了大学，从学校毕业后，开始了工程师的职业生涯，我没有被要求解上百上千个的微分方程。我理解了微分和积分在形式上的关联，但是我不知道我是否可以直觉感受到它。
后来有一天，我无意中读到斯托加茨的书《Nonlinear Dynamics and Chaos》（https://www.amazon.com/dp/0738204536）。在书中他问道，如何求解下列的微分方程：

随后他说，你不要这么做。它是非线性的。我们单单变换公式的方法不管用了。你需要把二阶的方程分解成两个一阶微分的方程式。

画出相位空间的轨迹图，然后你就能直观地感受到整个系统的运作方式。

在轨迹的每一点上，鼠标在水平和垂直方向都被微分推进了一点点，整合起来就像 LOGO 语言的小海龟在相位空间运动一样。
为什么我整个职业生涯都在整合一个我们看不见的东西呢？对我而言，如果不在相位空间理解微分方程就像是没听过一首歌却要做音乐鉴赏一样。
回想多年前我的老师提出来的问题：“为什么解是两个任意常数？”答案就很显然了：你必须选择轨迹得起始点，两个常量就像是小海龟做积分时的坐标 x 和 y 一样。我很多年以前就解决了“初值问题”，我却从来没有切身体会过这个初值。

教育和命令行

当这些笔记第一次发表的时候，我收到了很多读者的反馈。但是大多数的反馈都是以为为我想要变革数学教育。有一个部分我简短切题地说道这个项目不是关于教育的，其他地方我没有提到过教育。
我发现这很令人费解。如果我提出一种新的驾驶汽车的方式（比如，我说方向盘这东西已经过时了，应该被替换为 Wii 游戏手柄），应该不会有人认为这是谈论 汽车司机教育 吧。甚至没有人会提到教育二字。他们可能会思考这是否是一种开车的好方法。
但是当说道一种新的理解数学的方式时，人们总是开始联想到教室和课程。
有一点尤其奇怪，当今解决实际生活中的数学问题总好的工具竟然是是电子表格。如果我需要一个新的形式的电子表格，同样，没有人会说这是关于教育的。
（这种对教育领域的重新定位也发生在对一个动态系统的交互探索的演示中。肯定我本可以做得更好的：“这是一个原型工具，工程师和科学家可以对他们正在进行工程和科学系统进行建模和探索”。但是我认为这更加贴切这个工具的本意而不是仅仅“可视化 Lotka-Volterra 方程”。大多数的读者都想要像 Wolfram 那样的演示，对某个具体的数学问题进行可视化。这种感觉就像，我展示了一个全新的漂亮的不粘锅，后来每个人都上来问我要一盘美味的炒蛋。）
如果让我猜测为什么“数学改革”被误解为“数学教育改革”？我推断大多数人可能只在学校里和数学打交道。就像校园物理或者校园化学一样，数学被视为一门课来教授，而不是强调它是一种工具。人们在算术之外并没有在实际生活中使用数学，就好像不使用平方反比定律或者周期表一样。
这就是这个项目出发的前提——大多数人们没有使用数学。但是如果数学被以一种更好的方式教学的话，人们可能会把数学用得更好！我（包括整个项目）的立场是：不。教学目前你想要的数学抽象符号和方法——他们将仍然没有作用。使用糟糕的用户界面的教学方式仍然是没有用——因为没有展示出用户需要看到的东西，不符合用户大脑里所想的内容，没有呈现出用户可以采取的操作。
对于大多数人来说UNIX 命令行仍然是没有用的。有很多方法可以让普通大众使用计算机的强大之处，而不必教会每个人都去使用命令行。有一个很好的方法就是——设计更好的用户界面，更多易访问的应用程序，更高级的抽象。直接形象地和真实地表现事物。
所以当今的数学就像是命令行，我们需要更好的用户界面。

别人说过的观点

奥利弗·斯蒂尔：邮件
所有的不具体的抽象事物都是很难去想象的...我认为数学家是那些可以成功地弄清楚如何具体地思考抽象事物的人，所以抽象就不再抽象。我相信数学思维包括学习具体地思考抽象事物的能力，通常使用多种表示法——如何将更多的事情视为“事情”的一部分。所以与其说避免抽象，更重要的是接纳抽象并且将抽象具体化...具体化抽象事物的一种方法是在旁边放一个已经具体化的实例。

大卫·赫斯顿斯和盖瑞特·索布奇克: 《克利福德代数到几何微积分：统一的数学语言》
克莱恩对数学结构和历史的开创性研究揭示了数学发展和分支的两个主要过程...一种强调代数结构，另一种强调几何解释。克莱恩的分析表明，在数学的历史发展过程中，一个过程交替地支配着另一个过程。但这两个过程不应相互排斥。毫无疑问事实上每一个过程都是建立在人类思维的两大能力之一上的：语言能力和空间感知能力。从心理学的角度来看，代数与几何的融合是非常基本的所以我们可以说：没有代数的几何是愚蠢的！没有几何的代数是盲目的！

大卫·赫斯顿斯：《改变物理的数学语言》
在物理课程中，数学被认为是理所当然的——这是一成不变的真理。数学对我们的物理世界的深刻影响却从未被认真分析过。今天使用的数学工具是在过去被发明出来解决旧的问题，但是很有可能不太适合今天新的问题...
我们不必深入研究物理学的历史来证明数学对物理的深远影响。因为有两个著名的例子足以说明这一点：解析几何和微积分的发明是牛顿创立经典力学的基础，张量分析的发明对爱因斯坦创立广义相对论至关重要...
我想通过引用这两个例子来说明的一点是，如果没有基本的数学概念，这两个物理理论实际上是不可想象的。我们使用的数学建模工具曾经扩展但也限制了我们认知世界的能力。数学的局限性在于，那些为经典力学和解析几何学提供的数学支撑的理论方法已经不适用于广义的相对理论了。当今在物理学使用的数学工具可能在概念上就存在局限性。

艾伦·凯：《用图像制造符号》
法国著名数学家雅克·阿达玛在他晚年时决定投票选出他的 99 个同伴，作为地球上 100 位最伟大的数学家和物理学家，雅克问他们：“你们的工作怎么样？”。他们都是私交，所以纷纷回信。只有一百人中的几个人声称他们使用数学符号。这着实令人惊讶。他们中的大多数人以意象或比喻的方式来理解数学。有 30% 的人包括爱因斯坦都是这样。爱因斯坦说道，“我对数学有肢体一般的感受。”爱因斯坦就像感知自己的手臂和手指一样去感受抽象的空间。
[做某事 > 图像 > 符号]中令人难过的部分就是，美国的所有孩子都在以符号的方式去学习数学和物理。但没有一个有创造性的数学家或者物理学家在以这种方式学习...他们使用符号的方式交流，但是实际研究的时候就不是这样。太多的教育是建立在这种规则之上了，仅仅是因为我们以谈话的方式来交流，但是这并不意味着只靠说和听去教学。

威廉·瑟斯顿：《论数学的证明和发展》
当有一个重要的理论被证明的时候，通常该解法可以很快地在相关子领域内传播。这个证明如果是通过沟通交流的话可以在一小时之内就被该子领域的其他研究人员理解。但是如果写成 15 或 20 多页的论文，人们可能需要好几个小时甚至好几天才能够理解掌握。
为什么非正式的讨论和直接磕论文之间有这么大的区别呢？当一对一沟通的时候，人们除了数学语言还可以用很多其他的方式来交流。他们可以用手势、画图表、用肢体语言发出声响这些方式交流。沟通在这里就是双向的，人们可以专注于他们最关心的点上。以面对面的沟通方式，就可以更好地传达正在发生的事情，不仅在逻辑和语言方面，而且在其他心理层面。
在会谈中，人们变得更加拘谨和正式。数学的受众通常不善于提出大多数心中所关注的问题，而演讲汇报的人通常准备了一个不切实际的大纲，即使他们被问到问题，也会回避相关的回答。
在论文中，人们会仍然会比较正式。写作者将他们的想法翻译成符号和逻辑表达，读者努力地要将它们翻译回来。

理查德·汉明：《数学的不合理有效性》
有必要强调一点，数学的前提假设不是摩西从西奈山上取下来的石板。一开始我们头脑中有了一个模糊的概念，然后我们各种各样的假设集合，最终慢慢地收敛成一个特定的集合。在严格的假设方法中，原始模糊的的概念会被后来假设所定义的内容代替。这就使得很难有概念上的发展，进而减缓了数学的发展。并不是说假设的方法是错误的，只是应该清楚认识到它的任意性，注意当结论慢慢变得清晰时我们应该准备改变假设。

理查德·汉明：《科学与工程的艺术》

Geek专栏：[译] Kill Math: 让数学不只是符号

今天Geek专栏为大家带来译文
“KillMath：让数学不只是符号”
原作者：BretVictor
译者：王松博士

Bret Victor 是苹果公司的前 IPAD 的交互设计师,大神级的人物。他的理想是：改造我们的低幼化社会。为人们提供工具，用以抵抗和摧毁消费主义文化以及大企业对工作、娱乐和创造力的寡头控制。将权力、尊严和责任感还给个人。Bret 有很多惊艳的作品，感兴趣的同学可以在 Youtube 上搜一下。这篇文章中 Bret 认为大多数人应该用直觉去感知和理解数学符号，而不是靠符号演算。
下面是正文：

理解并预测量化世界的能力不应该只属于那些能够熟练运用抽象数学符号的人。

当大多数人谈及数学的时候，脑袋里想的更多是数学的机理而不是思考数学的本质。赋予符号含义、按照神秘的法则的变换和根据变换来解释意义组成了这种所谓的“数学”。整个过程就像是在抓阄一样。
如此的数学机制发展起来是有原因的：这是在纸和笔的限制下构建的最有效的数学系统。但是很遗憾的是，大多数的人们并不习惯将含义和数学抽象符号联系到一起并且很熟练地使用它们。所以除了算术，数学的力量只是掌握在少数的科学家和工程师的手上（虽然嘴上不说，但是他们中的大多数也是饱受抽象符号的煎熬）。
现在我们将不再受限于纸和笔。抽象的符号变换不应该再是理解数学的唯一手段了。数学需要有新的形象。

项目

Kill Math 是一个综合的工程项目，目标是帮助人们通过更具体的表现以及更符合直觉的形式来探索和解决一些有意义的量化问题。长远的目标则是希望能够建立一套不同于现有的符号数学体系的可广泛使用并自动呈现的可视化数学表示方法。
在未来的某一天，在这篇博客内可能会有一篇介绍的文章，让你感动到流泪。但是这篇文章还没写，因为它需要大量的思考和演示示例，在此之前我需要深刻地理解我正在努力做的工作。
下面是我目前已经完成的部分：

• 《通过媒介来思考原本不可思考的》是一系列交互式的用于设计和理解系统的演示，并且整合了下面列出的很多工作。
• 《擦写计算器》 演示了在不使用符号变量的情况下解决实际的代数问题。不是求解 x 和 y，而是通过交互的方式调整变量。
• 《动态系统的互动探索》演示了一个控制微分方程的工具，其中的每一个变量都用图表显示，每个参数都有一个旋钮，可以实时地进行调整。这套工具可以帮助用户了解参数是如何影响整个系统行为的。
• 《如何运用抽象》是一篇可交互的博客，使用系统可视化来帮助设计和理解一个系统。
• 《将模拟作为一种实用工具》是这篇文章的早期形态，这个项目主要是为了验证想法。
  

下面是一系列关于这个数学主题的博客漫谈，我希望吸引更多志同道合的人，而不是为了说服那些持怀疑态度的人。(在怀疑论者看到更多的例子之前，他们可能会拒绝被说服。)
我计划在不同的应用领域和数学领域收集一些有意义的问题，按照这里的哲学针对每一个问题，设计出一种解决方案，将此解决方案与传统解决方案进行比较。我希望在这个过程中出现的一些技术和设计模式可以为将来一般性的的框架提供参考。
跟往常一样，如果你在用类似的方式思考和工作，我很想看看你想出了什么有意思的点。
一些附加的想法发表在 Fast Company 杂志的这篇文章里
(https://www.fastcompany.com/1664 ... math-using-data-viz)

杂记

语言与内在解释 (1)

理解和预测数是一种相当强大的力量。目前，这种能力掌握在极少数能够熟练运用数学抽象符号的人手中。
相比之下，考虑识字能力。从一个不在同一地点或时间的人那里接收思想的能力同样是一种巨大的力量。识字率上升带来的巨大社会影响也是众所周知的。
语言素养比数学素养更加普及。几乎所有“受过教育”的人都能阅读，大多数人甚至可以在某种程度上写作。但是大多数受过教育的人除了算术之外没有掌握什么有用的数学技能。
写作和数学都是基于符号表示的系统。但我认为语言更加自然，因为语言的符号直接映射到单词或音素上，这是人类与生俱来的能力。我想，阅读和听别人说话或看手语有着相同的心理机制。
我不认为每个人在处理数学符号上有着相同的天赋【注1】。相反，我们倾向于阐释隐含的物理含义，这两种隐喻都适用于使用抽象符号的机制（例如，“移动”一个因子到等式的另一边，“消除”两个因子，等等）和符号的语义解释（例如，指数“上升”，或者公式的可忽略项）。在一定程度上，一个人的数学能力和感受这些物理隐喻的符号紧密相连，从而使抽象的更具体。
【注1】: 西蒙·佩伯特可能不会同意这样的观点，他认为对于在 “Mathland” (一个沉浸式的数学互动环境) 中长大的孩子看来，使用数学就像是在法国说法语一样，可以熟练地使用抽象的数学符号。我可能反驳说，在南极长大的孩子可能会更抗冻，或许人们并不需要这种抗冻能力。
我相信这两种精神上的扭曲都是在纸笔技术下的产物。一个人不应该手动地去变换符号和数学推导。因为这些工作最好完全由软件自动完成，或者像玩滑动拼图游戏一样，有一个可交互的带引导的软件。可能更具争议的是，我认为一个人不必去理解抽象符号的含义。相反地，动态图、图表、可视化模型和视觉特效就可以阐释事物本质。比如数值之间的关系、指数上升和公式的可忽略项应该被直观地用眼睛看到，而不是单纯地靠脑海想象。

语言与内在解释 (2)

人类是为语言而生的——我们是处理符号的机器——所以我不能说“符号的坏话”。我感觉有一些东西需要亲眼所见或者亲身体会才能够真正的理解与融会贯通。并且一些东西是可以很容易地绘制或者制作，对于那些缺少使用晦涩难懂的专业语言的经验的人来说，这很难用符号表述。
我认为数量和度量就属于这个范畴。例如长度1m 和1mm 的符号表示与直接观察这两种长度相比——前者只是一页纸上的数字，而后者可以让你直观地感受。你觉得大多数人能够从符号上，感受和理解 $1B 和$1T财政救助款之间的区别吗？事实上它俩之间差了整整 3 个数量级。
你需要使用本能的直觉去理解一个问题。一个优秀的电路设计师能够感知到一个电路是如何运作的。当他们看着电路原理图的时候，就能感受到电压的脉动，就好像看着跷跷板或者水泵运作一般。然而这需要多年的经验来形成这种当你看着符号的时候就能理解符号含义的直觉。
同样地，人们以前认为去阅读和理解巨大的数字表格是处理数据的基本技能。但是威廉·普莱费尔发明了线形图，突然间所有人都可以通过平凡的眼睛来直观地感受数据。
复数提供了一个很好的例子。在许多科学领域，理解抽象的复数是一项基本技能。然后 David Hestenes 站出来说：“嘿，你知道复数、四元数、泡利矩阵和其他抽象有趣的东西吗？如果你用过克利福德代数的话，所有的这些东西都有几何表示，并且你可以实际地体会和品味到它们。”用你愚笨的嘴去品味复数！事实上没有人相信他，但是我相信。
我们的工具的目的就是使那些无法企及的抽象事物让普通人也能理解，将它们转换成我们能够感受到的形态。显微镜能够让我们的眼睛看到微小的事物。镊子能够让我们笨拙的手指夹起细微的颗粒。计算器能够让我们愚笨的大脑完成复杂的计算。所以我想有那么一个工具可以让我们普通的大脑看见和体会复杂的情景。

厨房里的数学

在《儿童的机器》这本书中，西蒙·佩伯特介绍了“厨房里的数学”。一道菜需要给 3 个人吃，但是厨师只做了 2 份菜，所以她需要将原材料的均分 2/3。一道菜需要 3/4 杯面粉。厨师量出 3/4 杯面粉，在柜台上摊开成一个圈，从圈里拿出1/3块，放回袋子里。这就是 2/3 和 3/4。
有些人显得很慌张因为他不会使用分数，但是我发现了一个有趣的解决方案。因为分数是具体的、可见的、有形的和直接的。传统的方法就是分子分母上下同时约掉 3，但是这没有任何的物理意义。
我想要创造出一个环境来增强厨房里的数学。

数学的艺术

这个项目没有处于自身观点考虑来攻击应用数学。我不介意数学娱乐化或者艺术化。我一直出于个人兴趣在学习数学；我始终在以数学为乐。我对洛克哈特的悲歌产生了强烈的共鸣，并且我很喜欢 Vi Hart 和 Mike Keith 等人所做的工作。在模式和规则中隐藏着美感；但是发现这种美是有挑战的。我可能会因为盲目的传统和缺乏想象力的原因，迫使我使用古老的传统方式来完成这样的艺术形式。
以武术为例，这是另一种根据实际需要而发展出来的艺术形式。就像数学一样，人们练习武术可能是以为了身体或精神上的锻炼，为了挑战和掌握一项技能，为了它的优雅和美丽，或者作为一种社交活动为目的。与数学不同的是，我们意识到武术的精神已经发生了改变，因为随着技术的进步产生了更多教训人的方式。
（与数学不同的是，我们不会强迫地球上的每一个孩子上 12 年的课，那些在艺术方面不擅长的孩子也不会感到羞耻和低人一等。）

可能令人尴尬的个人往事

当我读高中的时候，我每周会去几次当地的大学学习微分方程。有一天，老师解完一个二阶方程式：

他很随意地提出了一个问题：“你为什么认为这个解有两个任意常数？”
对这个问题我感到很疑惑，我认为答案本该如此呀。我能看出解有两个自由度，我能理解到这个程度，但是我从来没想到还有更深层次的原因。
老师然后说道，“因为你积分了两次”。然后他就开始继续讲其他的东西了，但是我小脑袋里已经满满都是问号。
我从来没有想过通过积分来求解微分方程。因为它看起来并不像积分。我知道积分是什么样的——积分就是把东西都累加起来，就像往水槽里加水一样。

并且我知道方程直观感受起来是什么样的——它就像天平，慢慢地摆动越来越小，最后停了下来。

后来我上了大学，从学校毕业后，开始了工程师的职业生涯，我没有被要求解上百上千个的微分方程。我理解了微分和积分在形式上的关联，但是我不知道我是否可以直觉感受到它。
后来有一天，我无意中读到斯托加茨的书《Nonlinear Dynamics and Chaos》（https://www.amazon.com/dp/0738204536）。在书中他问道，如何求解下列的微分方程：

随后他说，你不要这么做。它是非线性的。我们单单变换公式的方法不管用了。你需要把二阶的方程分解成两个一阶微分的方程式。

画出相位空间的轨迹图，然后你就能直观地感受到整个系统的运作方式。

在轨迹的每一点上，鼠标在水平和垂直方向都被微分推进了一点点，整合起来就像 LOGO 语言的小海龟在相位空间运动一样。
为什么我整个职业生涯都在整合一个我们看不见的东西呢？对我而言，如果不在相位空间理解微分方程就像是没听过一首歌却要做音乐鉴赏一样。
回想多年前我的老师提出来的问题：“为什么解是两个任意常数？”答案就很显然了：你必须选择轨迹得起始点，两个常量就像是小海龟做积分时的坐标 x 和 y 一样。我很多年以前就解决了“初值问题”，我却从来没有切身体会过这个初值。

教育和命令行

当这些笔记第一次发表的时候，我收到了很多读者的反馈。但是大多数的反馈都是以为为我想要变革数学教育。有一个部分我简短切题地说道这个项目不是关于教育的，其他地方我没有提到过教育。
我发现这很令人费解。如果我提出一种新的驾驶汽车的方式（比如，我说方向盘这东西已经过时了，应该被替换为 Wii 游戏手柄），应该不会有人认为这是谈论 汽车司机教育 吧。甚至没有人会提到教育二字。他们可能会思考这是否是一种开车的好方法。
但是当说道一种新的理解数学的方式时，人们总是开始联想到教室和课程。
有一点尤其奇怪，当今解决实际生活中的数学问题总好的工具竟然是是电子表格。如果我需要一个新的形式的电子表格，同样，没有人会说这是关于教育的。
（这种对教育领域的重新定位也发生在对一个动态系统的交互探索的演示中。肯定我本可以做得更好的：“这是一个原型工具，工程师和科学家可以对他们正在进行工程和科学系统进行建模和探索”。但是我认为这更加贴切这个工具的本意而不是仅仅“可视化 Lotka-Volterra 方程”。大多数的读者都想要像 Wolfram 那样的演示，对某个具体的数学问题进行可视化。这种感觉就像，我展示了一个全新的漂亮的不粘锅，后来每个人都上来问我要一盘美味的炒蛋。）
如果让我猜测为什么“数学改革”被误解为“数学教育改革”？我推断大多数人可能只在学校里和数学打交道。就像校园物理或者校园化学一样，数学被视为一门课来教授，而不是强调它是一种工具。人们在算术之外并没有在实际生活中使用数学，就好像不使用平方反比定律或者周期表一样。
这就是这个项目出发的前提——大多数人们没有使用数学。但是如果数学被以一种更好的方式教学的话，人们可能会把数学用得更好！我（包括整个项目）的立场是：不。教学目前你想要的数学抽象符号和方法——他们将仍然没有作用。使用糟糕的用户界面的教学方式仍然是没有用——因为没有展示出用户需要看到的东西，不符合用户大脑里所想的内容，没有呈现出用户可以采取的操作。
对于大多数人来说UNIX 命令行仍然是没有用的。有很多方法可以让普通大众使用计算机的强大之处，而不必教会每个人都去使用命令行。有一个很好的方法就是——设计更好的用户界面，更多易访问的应用程序，更高级的抽象。直接形象地和真实地表现事物。
所以当今的数学就像是命令行，我们需要更好的用户界面。

别人说过的观点

奥利弗·斯蒂尔：邮件
所有的不具体的抽象事物都是很难去想象的...我认为数学家是那些可以成功地弄清楚如何具体地思考抽象事物的人，所以抽象就不再抽象。我相信数学思维包括学习具体地思考抽象事物的能力，通常使用多种表示法——如何将更多的事情视为“事情”的一部分。所以与其说避免抽象，更重要的是接纳抽象并且将抽象具体化...具体化抽象事物的一种方法是在旁边放一个已经具体化的实例。

大卫·赫斯顿斯和盖瑞特·索布奇克: 《克利福德代数到几何微积分：统一的数学语言》
克莱恩对数学结构和历史的开创性研究揭示了数学发展和分支的两个主要过程...一种强调代数结构，另一种强调几何解释。克莱恩的分析表明，在数学的历史发展过程中，一个过程交替地支配着另一个过程。但这两个过程不应相互排斥。毫无疑问事实上每一个过程都是建立在人类思维的两大能力之一上的：语言能力和空间感知能力。从心理学的角度来看，代数与几何的融合是非常基本的所以我们可以说：没有代数的几何是愚蠢的！没有几何的代数是盲目的！

大卫·赫斯顿斯：《改变物理的数学语言》
在物理课程中，数学被认为是理所当然的——这是一成不变的真理。数学对我们的物理世界的深刻影响却从未被认真分析过。今天使用的数学工具是在过去被发明出来解决旧的问题，但是很有可能不太适合今天新的问题...
我们不必深入研究物理学的历史来证明数学对物理的深远影响。因为有两个著名的例子足以说明这一点：解析几何和微积分的发明是牛顿创立经典力学的基础，张量分析的发明对爱因斯坦创立广义相对论至关重要...
我想通过引用这两个例子来说明的一点是，如果没有基本的数学概念，这两个物理理论实际上是不可想象的。我们使用的数学建模工具曾经扩展但也限制了我们认知世界的能力。数学的局限性在于，那些为经典力学和解析几何学提供的数学支撑的理论方法已经不适用于广义的相对理论了。当今在物理学使用的数学工具可能在概念上就存在局限性。

艾伦·凯：《用图像制造符号》
法国著名数学家雅克·阿达玛在他晚年时决定投票选出他的 99 个同伴，作为地球上 100 位最伟大的数学家和物理学家，雅克问他们：“你们的工作怎么样？”。他们都是私交，所以纷纷回信。只有一百人中的几个人声称他们使用数学符号。这着实令人惊讶。他们中的大多数人以意象或比喻的方式来理解数学。有 30% 的人包括爱因斯坦都是这样。爱因斯坦说道，“我对数学有肢体一般的感受。”爱因斯坦就像感知自己的手臂和手指一样去感受抽象的空间。
[做某事 > 图像 > 符号]中令人难过的部分就是，美国的所有孩子都在以符号的方式去学习数学和物理。但没有一个有创造性的数学家或者物理学家在以这种方式学习...他们使用符号的方式交流，但是实际研究的时候就不是这样。太多的教育是建立在这种规则之上了，仅仅是因为我们以谈话的方式来交流，但是这并不意味着只靠说和听去教学。

威廉·瑟斯顿：《论数学的证明和发展》
当有一个重要的理论被证明的时候，通常该解法可以很快地在相关子领域内传播。这个证明如果是通过沟通交流的话可以在一小时之内就被该子领域的其他研究人员理解。但是如果写成 15 或 20 多页的论文，人们可能需要好几个小时甚至好几天才能够理解掌握。
为什么非正式的讨论和直接磕论文之间有这么大的区别呢？当一对一沟通的时候，人们除了数学语言还可以用很多其他的方式来交流。他们可以用手势、画图表、用肢体语言发出声响这些方式交流。沟通在这里就是双向的，人们可以专注于他们最关心的点上。以面对面的沟通方式，就可以更好地传达正在发生的事情，不仅在逻辑和语言方面，而且在其他心理层面。
在会谈中，人们变得更加拘谨和正式。数学的受众通常不善于提出大多数心中所关注的问题，而演讲汇报的人通常准备了一个不切实际的大纲，即使他们被问到问题，也会回避相关的回答。
在论文中，人们会仍然会比较正式。写作者将他们的想法翻译成符号和逻辑表达，读者努力地要将它们翻译回来。

理查德·汉明：《数学的不合理有效性》
有必要强调一点，数学的前提假设不是摩西从西奈山上取下来的石板。一开始我们头脑中有了一个模糊的概念，然后我们各种各样的假设集合，最终慢慢地收敛成一个特定的集合。在严格的假设方法中，原始模糊的的概念会被后来假设所定义的内容代替。这就使得很难有概念上的发展，进而减缓了数学的发展。并不是说假设的方法是错误的，只是应该清楚认识到它的任意性，注意当结论慢慢变得清晰时我们应该准备改变假设。

理查德·汉明：《科学与工程的艺术》